EL
SEGUNDO TEOREMA DE ROTURA O DEL “LÍMITE SUPERIOR”
El
segundo teorema de rotura trata de las configuraciones de rotura de una
estructura que siendo “correctas”,
es decir, transforman la estructura en un mecanismo, los esfuerzos últimos en
las rótulas plásticas están en equilibrio con las cargas y además existe coherencia
entre la forma de deformarse las rótulas y sus esfuerzos últimos y cumplen las condiciones
estáticas de borde no son la configuración real de colapso. Podría enunciarse
como: “A cualquier configuración de
rotura correcta pero no real, le corresponde una carga de rotura mayor que la
real”. Evidentemente, si encontrásemos una configuración de rotura
correcta con una carga de rotura menor, la estructura rompería antes por esa
configuración y pasaría a ser la configuración real.
Dicho
de otra forma, la carga de rotura es el límite inferior de todas las cargas de
rotura posibles en configuraciones de colapso correctas. Como decíamos, el
propio título del teorema: “del límite superior”, induce a confusión. Su
posible pervivencia puede deberse a su corolario, que es realmente el que
utilizamos en el cálculo: “Si a las
configuraciones de rotura correctas pero no reales les aplicamos la carga de
rotura, los esfuerzos últimos que aparecen son siempre menores que los
esfuerzos últimos de la configuración real de rotura”. Obviamente, en la
configuración real la carga de rotura es menor porque aparecen esfuerzos
mayores, y en este caso, el esfuerzo último de rotura sí es el límite superior
de todos los esfuerzos últimos de las configuraciones de rotura no reales. Johansen
enunció la aplicación de este corolario a placas como su “V Teorema”: “La
configuración de rotura real corresponde al máximo valor del momento último por
unidad de longitud”. Realmente este corolario es la base de lo que podríamos
llamar en sentido estricto “Método de cálculo en rotura”.
Una
vez definida la carga de rotura se buscan todas las configuraciones de rotura
posibles y correctas, se obtienen sus esfuerzos por equilibrio o expresando el
trabajo virtual del mecanismo se elige la que tenga el máximo esfuerzo último,
y se dimensiona la estructura para que el esfuerzo último de la sección tenga
el mismo valor que el esfuerzo último de la estructura con la carga de colapso.
Este proceso en algunos casos es sencillísimo, en otros como el de algunas placas
puede llegar a ser extremadamente complicado.
El
significado profundo de este Teorema es que las configuraciones de rotura
correctas pero no reales, no cumplen la condición de “cedencia”, es decir, en
zonas de la estructura que no son las rótulas plásticas existe un esfuerzo
mayor que el que existe en las rótulas y que hemos supuesto que es el esfuerzo
último.
Un ejemplo elemental
puede servir para aclarar esto (Figura 1): supongamos que queremos analizar la rotura de una
viga empotrada de sección constante es decir, aquélla en la que su momento
último es igual en todas las secciones con carga uniforme, planteando el
equilibrio de los momentos en las rótulas con la carga última, y que no
conocemos la distribución de momentos a lo largo de la viga. Si estudiamos las
configuraciones correctas a) y b) veremos que los supuestos momentos
últimos Mp1 o p2 son menores que el de la rotura real Mp de la configuración c), debido a que en las configuraciones
a) y b) existe un momento mayor fuera de las rótulas que no hemos tenido
en cuenta.
TEOREMA DEL LIMITE SUPERIOR
Una
carga calculada basándose en un mecanismo supuesto, siempre será mayor o igual
a la verdadera carga última, esto es;
Si
M > Mp ; Entonces: Wt > Wu
Si
se conoce el mecanismo real de colapso de una estructura sometida a un sistema determinado
de fuerzas exteriores, puede obtenerse el valor de la carga de colapso
igualando el trabajo realizado por las fuerzas exteriores, durante un pequeño
movimiento de mecanismo. Con lo absorbido en las articulaciones plásticas. Si
no se conoce el mecanismo real de falla es posible escribir una ecuación de
igualdad de los trabajos del tipo indicado arriba, para cualquier mecanismo
supuesto; es decir, es posible aplicar el principio de trabajo virtual a
cualquier mecanismo, con lo que se obtiene la carga correspondiente a ese
mecanismo. Se llega así a una solución que satisface las condiciones de
equilibrio y de mecanismo pero que en general, viola la de plasticidad, de tal
manera que la carga correspondiente es mayor que la real de colapso puesto que produce
en una o mas secciones un momento mayor que el que realmente puede soportar la
estructura. Solamente cuando se elige un mecanismo de tal manera que en ningún
punto exceda el valor de (Mp), el valor de la carga obtenido será el correcto.
TEOREMA DEL LIMITE INFERIOR
Teorema de límites inferior y superior
Teorema de límite inferior (teorema estático)• Campo tensional en equilibrio con acciones exteriores
• Respeta ecuación constitutiva Reacciones menores o iguales a la de falla Teorema de límite superior (teorema cinemático)
• Mecanismo con trabajo igual a energía disipada
• Respeta ecuación constitutiva Reacciones mayores o iguales a las de falla
TEOREMA INFERIOR: CAPACIDAD DE CARGA NO DRENADA
TEOREMA SUPERIOR: CAPACIDAD DE CARGA NO DRENADA
TEOREMA INFERIOR: CAPACIDAD DE CARGA DRENADA
TEOREMA SUPERIOR: CAPACIDAD DE CARGA DRENADA
SOLUCIÓN EXACTA: CUANDO EL TEOREMA ESTÁTICO Y EL CINEMÁTICO COINCIDEN
SALTOS EN EL CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS
LINEAS CARACTERÍSTICAS
LINEAS CARACTERÍSTICAS VS SALTOS DE DESPLAZAMIENTOS
SOLUCIONES NUMÉRICAS
EJEMPLO:
Si
tenemos una viga doblemente empotrada (sistema hiperestático), Figura (2.10.A)
Y
si se supone un mecanismo como el mostrado con línea continua, Figura (2.10.B),
basándose en la hipótesis de que la articulación plástica se forma en (2),
entonces el diagrama de momentos de equilibrio, sería como el mostrado con
línea continua Figura (2.10.C);
ya que del punto (2) al punto (4) se excede el valor de ( Mp), la viga tendría
que reforzarse a lo largo de esa longitud para poder soportar la carga Wt
supuesta. En consecuencia, la carga es demasiado grande por lo que necesitamos
escoger un mecanismo que no exceda el
valor de (Mp) en ningún punto de la viga, esto se indica sobre las
líneas punteadas en la Figura
(2.10.C).
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